Persamaan Garis Lurus

A. Pengertian Persamaan Garis Lurus

Sebelum memahami pengertian persamaan garis lurus, ada baiknya kamu mengingat kembali materi tentang koordinat Cartesius persamaan garis lurus selalu digambarkan dalam koordinat Cartesius. Untuk itu, pelajarilah uraian berikut.

1. Koordinat Cartesius

Pada bab sebelumnya, kamu telah mengenal tentang bidang Cartesius. Coba kamu perhatikan Gambar 3.1 dengan seksama. Gambar tersebut menunjukkan bidang koordinat Cartesius yang memiliki sumbu mendatar (disebut
sumbu-x) dan sumbu tegak (disebut sumbu-y). Titik potong kedua sumbu tersebut dinamakan titik asal atau titik pusat koordinat. Pada Gambar 3.1, titik pusat koordinat Cartesius ditunjukkan oleh titik O (0, 0). Sekarang, bagaimana menggambar titik atau garis pada bidang koordinat Cartesius?
a. Menggambar Titik pada Koordinat Cartesius
Setiap titik pada bidang koordinat Cartesius dinyatakan dengan pasangan berurutan x dan y, di mana x merupakan koordinat sumbu-x (disebut absis) dan y merupakan koordinat sumbu-y (disebut ordinat). Jadi, titik pada bidang koordinat Cartesius dapat dituliskan (x, y). Pada Gambar 3.2 , terlihat ada 6 buah titik koordinat pada bidang koordinat Cartesius. Dengan menggunakan aturan penulisan titik koordinat, keenam titik tersebut dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut.

b. Menggambar Garis pada Koordinat Cartesius
Kamu telah memahami bagaimana menggambar titik pada bidang koordinat Cartesius. Sekarang bagaimana menggambar garis lurus pada bidang yang sama? Coba perhatikan Gambar 3.3

Perlu diingat, garis lurus adalah kumpulan titik-titik yang letaknya sejajar. Dari Gambar 3.3(a) , terlihat bahwa titik-titik P, Q, R, S, T, dan U memiliki letak yang sejajar dengan suatu garis lurus, misalkan garis k, seperti yang digambarkan pada Gambar 3.3(b). S ebuah garis lurus dapat terbentuk dengan syarat sedikitnya ada dua titik pada bidang koordinat Cartesius.

2. Menggambarkan Persamaan Garis Lurus

Setelah kamu mempelajari materi sebelumnya, apa yang dapat kamu ketahui tentang persamaan garis lurus? Persamaan garis lurus adalah suatu persamaan yang jika digambarkan ke dalam bidang koordinat Cartesius akan membentuk sebuah garis lurus. Cara menggambar persamaan garis lurus adalah dengan menentukan nilai x atau y secara acak. Perlu diingat bahwa dua titik sudah cukup untuk membuat garis lurus pada bidang koordinat Cartesius.

B. Gradien 

1. Pengertian Gradien

Pernahkah kamu mendaki gunung? Jika ya, kamu pasti akan menyusuri lereng gunung untuk dapat sampai ke puncak. Lereng gunung memiliki kemiringan tanah yang tidak sama, ada yang curam ada juga yang landai. Sama halnya dengan garis yang memiliki kemiringan tertentu. Tingkat kemiringan garis inilah yang disebut gradien. Perhatikan kembali garis lurus pada Gambar 3.4, berdasarkan perbandingan ordinat dan absis maka tingkat kemiringan atau gradien garis tersebut adalah
¹/₂.

2. Perhitungan Gradien

Ada berbagai cara untuk menghitung gradien dari suatu persamaan garis. Hal ini bergantung pada letak titik koordinat dan bentuk persamaan garis yang diberikan. Berikut ini akan diuraikan cara menghitung gradien berdasarkan titik koordinat atau bentuk persamaan garis.
a. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx
Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, gradien suatu garis dapat ditentukan melalui perbandingan antara ordinat dan absis sehingga dapat ditulis sebagai berikut.

Dari uraian ini terlihat bahwa nilai gradien dalam suatu persamaan garis sama dengan besar nilai konstanta m yang terletak di depan variabel x, dengan syarat, persamaan garis tersebut diubah terlebih dahulu ke dalam bentuk y = mx.
b. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx + c
Sama halnya dengan perhitungan gradien pada persamaan garis y = mx, perhitungan gradien pada garis y = mx + c dilakukan dengan cara menentukan nilai konstanta di depan variabel x.
c. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis ax + by + c = 0
Sama seperti sebelumnya, gradien pada persamaan garis ax + by + c = 0 dapat ditentukan dengan cara mengubah terlebih dahulu persamaan garis tersebut ke dalam bentuk y = mx + c. Kemudian, nilai gradien diperoleh dari nilai konstanta m di depan variabel x.
d. Menghitung Gradien pada Garis yang Melalui Dua Titik
Coba kamu perhatikan Gambar 3.5 berikut.

Gambar 3.5 menunjukkan tiga buah segitiga ABC, DEF, dan GHI yang memiliki sisi miring dengan tingkat kemiringan atau gradien yang berbedabeda. Dengan menggunakan perbandingan ordinat dan absis, gradien untuk masing-masing segitiga dapat dihitung sebagai berikut.

Sekarang, perhatikan Gambar 3.6 . Gambar tersebut menunjukkan sebuah garis lurus pada bidang koordinat yang melalui titik P dan R. Untuk mencari gradien garis tersebut, kamu tinggal menentukan gradien PR pada segitiga PQR. Dengan menggunakan perbandingan ordinat dan absis, akan diperoleh gradien garis yang melalui titik P dan R, yaitu:

Jadi, gradien garis yang melalui P(1, 3) dan R(7, 6) pada Gambar 3.6 adalah ¹/₂. Dari uraian tersebut diperoleh rumus umum untuk mencari gradien pada garis yang melalui dua titik, sebagai berikut.

3. Sifat-Sifat Gradien

Ada beberapa sifat gradien yang perlu kamu ketahui, di antaranya adalah gradien garis yang sejajar dengan sumbu-x, gradien garis yang sejajar dengan sumbu-y, gradien dua garis yang sejajar, dan gradien dua garis yang saling tegak lurus. Berikut ini akan diuraikan sifat-sifat gradien tersebut.
a. Gradien Garis yang Sejajar dengan Sumbu-x
Perhatikan gambar berikut.

Pada Gambar 3.7 , terlihat garis k yang melalui titik A(–1, 2) dan B(3, 2). Garis tersebut sejajar dengan sumbu-x. Untuk menghitung gradien garis k, gunakan cara sebagai berikut.
Untuk titik A(–1, 2) maka x₁ = –1, y₁ = 2.
Untuk titik B(3, 2) maka x₂ = 3, y₂ = 2.

Coba kamu periksa titik-titik lain pada garis k dan hitunglah gradiennya. Apakah nilai gradiennya sama dengan 0? Uraian tersebut memperjelas tentang gradien garis yang sejajar dengan sumbu-x, yaitu sebagai berikut.

Jika garis sejajar dengan sumbu- x maka nilai gradiennya adalah nol.

b. Gradien garis yang sejajar dengan sumbu-y
Perhatikan gambar berikut.

Pada Gambar 3.8 , garis l yang melalui titik C(1, 3) dan D(1, –1). letaknya sejajar dengan sumbu-y. Gradien garis tersebut adalah sebagai berikut.
Untuk titik C(1, 3) maka x₁ = 1, y₁ = 3.
Untuk titik D(1, –1) maka x₂ = 1, y₂ = –1.

Perhitungan di atas, memperjelas sifat gradien berikut.

Jika garis sejajar dengan sumbu-y maka garis tersebut tidak memiliki gradien.

c. Gradien Dua Garis yang Sejajar
Sekarang coba kamu perhatikan Gambar 3.9

Garis k dan l merupakan dua garis yang sejajar. Bagaimana gradien kedua garis tersebut? Perhatikan uraian berikut.
• Garis k melalui titik A(–2, 0) dan B(0, 2).
Untuk titik A(–2, 0) maka x₁ = –2, y₁ = 0.
Untuk titik B(0, 2) maka x₂ = 0, y₂ = 2.

• Garis l melalui titik C(0, –1) dan D(1, 0).
Untuk titik C(0, –1) maka x₁ = 0, y₁ = –1.
Untuk titik D(1, 0) maka x₂ = 1, y₂ = 0.

Dari uraian tersebut terlihat bahwa garis k dan l memiliki gradien yang sama.

Setiap garis yang sejajar memiliki gradien yang sama.

d. Gradien Dua Garis yang Tegak Lurus
Coba kamu perhatikan Gambar 3.10 . Pada gambar tersebut terlihat garis k tegak lurus dengan garis l.

Gradien kedua garis tersebut dapat dihitung dengan cara sebagai berikut.
• Garis k melalui titik C(3, 0) dan D(0, 3).
Untuk titik C(3, 0) maka x₁ = 3, y₁ = 0.
Untuk titik D(0, 3) maka x₂ = 0, y₂ = 3.

• Garis l melalui titik A(–1, 0) dan B(0, 1).
Untuk titik A(–1, 0) maka x₁ = –1, y₁ = 0.
Untuk titik B(0, 1) maka x₂ = 0, y₂ = 1.

Hasil kali kedua gradien tersebut adalah
m_AB × m_CD = 1 × –1 = –1
Uraian tersebut memperjelas hal berikut:
Hasil kali antara dua gradien dari garis yang saling tegak lurus adalah –1.

C. Menentukan Persamaan Garis Lurus

Pada subbab sebelumnya, kamu telah mempelajari bagaimana menggambar persamaan garis lurus pada bidang koordinat Cartesius dan menentukan gradien dari suatu persamaan garis. Sekarang, bagaimana menentukan persamaan garis dari suatu titik atau gradien? Masih ingatkah kamu tentang gradien yang diperoleh dari perbandingan ordinat dan absis? Bentuk tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.

Bentuk y = mx merupakan bentuk persamaan garis lurus sederhana. Dikatakan sebagai bentuk sederhana karena garis yang dibentuk oleh persamaan garis tersebut selalu melalui titik pusat koordinat. Untuk lebih jelasnya, perhatikan Contoh Soal

Contoh Soal :Tentukan persamaan garis untuk garis yang melalui titik O (0, 0) dan memiliki: a. gradien 2, b. gradien –3, c. gradien 1. Jawab : a. y = mx maka y = (2)x  y = 2x b. y = mx maka y = (–3)x  y = –3x c. y = mx maka y = (1)x  y = x

Adapun bentuk umum dari persamaan garis lurus dapat dituliskan sebagai berikut.

Persamaan garis ini hampir sama dengan bentuk sederhananya, namun diberi tambahan konstanta (diberi lambang c). Hal ini menunjukkan bahwa garis yang dibentuk oleh persamaan garis tersebut tidak akan melalui titik O(0, 0).
Setelah kamu memahami bentuk sederhana dan bentuk umum persamaan garis, berikut ini akan diuraikan bagaimana menentukan sebuah persamaan garis dari titik koordinat atau gradien.

1. Menentukan Persamaan Garis dari Gradien dan Titik Koordinat

Sekarang, coba kamu perhatikan Gambar 3.1. Gambar tersebut menunjukkan sebuah garis k pada bidang koordinat Cartesius. Garis tersebut melalui titik A(x₁, y₁) dan tidak melalui titik pusat koordinat sehingga persamaan garis pada Gambar 3.11 dapat dituliskan:
y₁ = mx₁ + c ….(1)
Adapun bentuk umum persamaan garis yang tidak melalui titik pusat koordinat dituliskan:
y = mx + c ….(2)

Jika ditentukan selisih dari persamaan (2) dan persamaan (1) maka diperoleh:

Selanjutnya diperoleh rumus umum untuk menentukan persamaan garis jika diketahui gradien dan titik koordinat, yaitu:

2. Menentukan Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik

Pada bagian sebelumnya, kamu telah mempelajari cara menentukan persamaan garis yang melalui satu titik koordinat dan gradiennya diketahui. Sekarang, kamu akan mempelajari bagaimana menentukan persamaan garis yang melalui dua titik. Caranya hampir sama dengan rumus umum yang telah dipelajari sebelumnya.
Coba kamu perhatikan uraian berikut :
• y – y1 = m (x – x1) adalah rumus umum persamaan garis dari gradien dan titik koordinat.

Jadi, rumus untuk menentukan persamaan garis yang melalui dua titik koordinat adalah

3. Menentukan Koordinat Titik Potong dari Dua Garis Lurus

Coba kamu perhatikan Gambar 3.12

Dari Gambar 3.12 , terdapat dua garis dalam bidang koordinat, yaitu garis k dan l. Dalam Gambar 3.12(a) , kedua garis tersebut sejajar. Adapun pada Gambar 3.12(b) , kedua garis tersebut tidak sejajar sehingga keduanya berpotongan di suatu titik, yaitu titik A (x1, y1). Jadi, koordinat titik potong dapat dicari dari dua garis yang tidak sejajar.
Sekarang, bagaimana cara menentukan koordinat titik potong dari dua persamaan garis yang diketahui? Ada dua cara yang dapat digunakan, yaitu cara menggambar (cara grafik) dan cara substitusi. Untuk itu, pelajari uraian berikut.
a. Cara Grafik
Dengan cara ini, dua persamaan garis digambar ke dalam bidang koordinat Cartesius sehingga koordinat titik potong kedua garis tersebut dapat dilihat dari gambar.

b. Cara Substitusi
Dengan cara substitusi, salah satu variabel dari persamaan garis yang diketahui dimasukkan (disubstitusikan) ke dalam variabel yang sama dari persamaan garis yang lain.

Segitiga dan Melukis Segitiga Istimewa

A. Jenis-jenis Segitiga

1. Jenis segitiga ditinjau dari panjang sisi-sisinya :

a. Segitiga Sembarang

Segitiga sembarang adalah segitiga yang ketiga sisinya berbeda panjangnya dan ketiga sudutnya berbeda besarnya.

  

 

b. Segitiga Sama kaki

Segitiga sama kaki adalah segitiga yang dua dari tiga sisinya sama panjang.

c. Segitiga Sama sisi

Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang. 

2. Jenis segitiga ditinjau dari besar sudut-sudutnya :

a. Segitiga Lancip

Segitiga lancip adalah segitiga yang ketiga sudutnya merupakan sudut lancip atau besar         sudutnya antara 0^o dan 90^o

.
    
       

b. Segitiga Siku-Siku

Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya siku–siku atau besar sudutnya 90^o.     

    
       

c. Segitiga Tumpul

Segitiga tumpul adalah segitiga yang satu dari tiga sudutnya merupakan sudut tumpul atau besar sudutnya antara 90^o dan 180^o.     

 

3. Segitiga Istimewa

Segitiga istimewa merupakan segitiga yang memiliki sifat-sifat khusus (istimewa), baik mengenai hubungan panjang sisi-sisinya maupun hubungan besar sudut-sudutnya. Yang merupakan segitiga istimewa di antara jenis-jenis segitiga adalah :
      - Segitiga siku-siku
      - Segitiga sama kaki
      - Segitiga sama sisi

B. Melukis Segitiga Istimewa

Segitiga–segitiga istimewa, selain dapat dilukis pada bidang berpetak, dapat juga dilukis pada bidang gambar polos dengan menggunakan penggaris, busur derajat dan jangka.

 

A. Melukis Segitiga Siku-Siku

Lukislah sigitiga ABC siku - siku di titik A dengan panjang AB = 3 cm dan AC = 4 cm!

Langkah-langkah menggambar segitiga siku-siku ABC:

1. Lukislah garis AB dengan panjang 3 cm.

2. Pada titik B, buatlah sudut KLM=90° dengan busur derajad dan tandai titik C.

3. Hubungkan titik A dengan titik C tersebut dengan panjang 4 cm

  

B. Melukis Segitiga Sama Kaki

Untuk menggambar segitiga sama kaki PQR dengan menggunakan busur derajad dan penggaris pada kertas polos dapat ditempuh dengan cara sebagai berikut:

1. Lukislah sisi PQ.

2. Pada titik Q buatlah sudut PQR menggunakan busur derajad dengan ukuran sembarang (sudut ini    bisa tumpul atau lancip sesuai dengen ketentuan yang diberikan) dan tandai titik R.

3. Ukurlah sisi QR agar sama dengan sisi PQ.

4. Hubungkan titik P dan titik R.

       C. Melukis Segitiga Sama Sisi

       Langkah-langkah menggambar segitiga sama sisi KLM:
       1. Lukislah garis KL.
       2. Pada titik L, buatlah sudut  KLM=60° dengan bususr derajad dan tandai titik M.
       3. Ukurlah sisi LM agar sama dengan sisi KL.
       4. Hubungkan titik K dengan titik M tersebut

Irisan Dan Gabungan Dua Himpunan

Irisan Dua Himpunan

Irisan himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A dan sekaligus merupakan anggota himpunan B. Notasi:

 

Contoh :

1. Diketahui  A = { Andri, Tono, Intan, Dewi }
                   B = { Budi, Tono, Yeni, Intan, Alex }

   a. Gambarkan pada diagram Venn
   b. Tentukan anggota A  B            

2. Diketahui  
       S  = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . , 12 }
       A = { 1, 2, 4, 6, 9 }
       B = { 4, 5, 9, 10, 12 }
   a. Gambarkan pada diagram Venn
   b. Tentukan A B

Jawab :

a.

b. A B = {4,9}

3. Diketahui P = { bilangan prima kurang dari 13}
                     Q = { 3, 5 }
        a. Gambarkan pada diagram Venn
        b. Tentukan P Q
       

Jawab:

a.   P = { 2, 3, 5, 7, 11 }
      Q = { 3, 5 }

b. P Q = {3,5}

4. Dalam suatu kelas yang terdiri dari 40 siswa ternyata 24 siswa gemar   basket, 30 siswa gemar tenis, dan 2 siswa tidak gemar kedua jenis olah raga tersebut. Berapakah siswa yang gemar basket dan tenis?
   
   Jawab:
   

Misalkan  S = { siswa }
                  B = { siswa gemar basket }
                  T = { siswa gemar tenis }
    Banyak siswa yang gemar basket dan tenis = x orang,
    siswa yang gemar basket saja ada (24 – x) orang, dan yang 
    gemar tenis saja ada (30 – x) orang, maka :
    (24 – x) + x + (30 – x) + 2 = 40
        24 – x  + x + 30 – x + 2 = 40
                      54 – x + 2 = 40
                             56 – x   =  40
                                   - x   = 40 – 56
                                   - x   = - 16
                                     x   =  16

     Jadi ada 16 siswa yang gemar basket dan tenis

Fungsi dan Grafiknya

Fungsi dan Grafiknya

Konsep Fungsi

Definisi:
Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B


Dengan diagram panah dapat ditunjukkan bahwa :

Ini adalah fungsi, sebab setiap anggota himpunan A dipasangkan dengan tepat satu anggota B

Ini bukan fungsi, sebab ada anggota himpunan A yaitu 2 yang tidak dipasangkan dengan anggota B

Pada diagram panah berikut :

Himpunan A = {1 , 2 , 3 } dinamakan Domain / daerah asal
Himpunan B = { a , b , c } dinamakan Kodomain / daerah kawan
Himpunan { a , b } dinamakan Range / daerah hasil

Pemasangan yang terjadi oleh fungsi f adalah :
Fungsi f memetakan semua anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B,yaitu :
f : 1 → b
f : 2 → a
f : 3 → b

Notasi dan Rumus Fungsi
Jika suatu fungsi f memetakan setiap x anggota himpunan A ke y anggota himpunan B, maka dapat ditulis dengan notasi fungsi yaitu: f : x → y

Fungsi f seperti dalam notasi tersebut di atas dapat juga dituliskan rumus fungsinya, yaitu: f(x) = y

Contoh :
Diketahui himpunan A = { 1, 2, 3 } dan B = { 4, 5, 6,7,8 }.
Fungsi f memetakan setiap x anggota A ke x + 4 anggota B.

a	Nyatakan fungsi tersebut dengan diagram panah
b	Nyatakan notasi fungsi tersebut
c	Nyatakan rumus fungsi tersebut
d	Nyatakan daerah asal
e	Nyatakan daerah kawan
f	Nyatakan daerah hasil

Jawaban :
Fungsi f memetakan setiap x anggota A ke x + 4 anggota B.

a. diagram panah

b	notasi fungsi adalah f : x → x + 4
c	rumus fungsi adalah f (x) = x + 4
d	daerah asal adalah { 1, 2, 3 }
e	daerah kawan adalah { 4, 5, 6, 7, 8 }
f	daerah hasil adalah { 5, 6, 7 }

Pada materi ini akan di bahas fungsi linear dan fungsi kuadrat.
Bentuk umum fungsi linear adalah f (x) = ax + b dengan a ≠ 0

a.	adalah koefisien x
b.	adalah koefisien suku tetap/constanta

Contoh :

1.	f (x) = x	dengan nilai a = 1 dan b = 0
2.	f (x) = 2x – 3	dengan nilai a = 2 dan b = -3

Bentuk umum fungsi kuadrat adalah f (x) = ax² + bx + c dengan a ≠ 0

a.	adalah koefisien x2
b.	adalah koefisien x
c.	adalah koefisien suku tetap/konstanta

Contoh :

1.	f (x) = x2	dengan nilai a = 1, b = 0 dan c = 0
2.	f (x) = -2x2 + 3x	dengan nilai a = -2 , b = 3 dan c = 0
3.	f (x) = 3x2 – 2x + 1	dengan nilai a = 3, b = -2 dan c = 1